Using an equivalent analytic representation, what are all solutions to $\cos(2x)+\sin x=0$ on $0\le x<2\pi$?

答案与推导

正确选项：B

等价形式 $(1-\sin x)(2\sin x+1)=0$ 给出 $\sin x=1$ 或 $\sin x=-1/2$，得到选项 B 的三个解。

1. 使用 $\cos(2x)=1-2\sin^2x$，把方程写成 $1-2\sin^2x+\sin x=0$。
2. 把等价表达式因式分解为 $(1-\sin x)(2\sin x+1)=0$。
3. 在给定区间内，$\sin x=1$ 给出 $\pi/2$；$\sin x=-1/2$ 给出 $7\pi/6$ 与 $11\pi/6$。

为什么其他选项不成立

A

保留了 sin x=1 分支，却遗漏 sin x=-1/2 的两个解。

B

把二倍角余弦改写并因式分解后，两组因子给出的解全部正确。

C

这些角对应 sin x=1/2 与 sin x=-1，并非因式分解得到的值。

D

这些输入下 sin x=0、cos(2x)=1，原方程左边为 1。

常见误区：使用等价恒等式时，必须保留每个因子以及定义域内的全部分支。

中国课程衔接：中国课程衔接：代数因式分解已学；AP 新要求选择能显露解的等价三角表示；不同于直接对混合原式使用反函数键，应先改写为单一三角函数；易失分点是漏掉因子或象限。