UNIT 3 · 周期与建模
正弦建模怎么找振幅、周期和起点？
把熟悉的三角函数变成情境模型：先看最高与最低，再找完整周期，最后用起始事件检查相位。
本文目录 · 6 节
学习伙伴的小提醒先代入起点，再检查半个周期。一个方程看起来熟悉，并不代表它符合情境。
01 / DIRECT ANSWER
先用四个量锁定一个周期
振幅是最高值与最低值之差的一半；中线是它们的平均值。周期是相邻两个同类位置之间的时间，例如两个连续最低点。起点决定相位，必须代回模型检查。
若用弧度制写成 y = A sin(B(t − C)) + D，则振幅为 |A|，中线为 y = D，当 B ≠ 0 时，周期 T = 2π/|B|。C 决定水平平移，但同一个运动可以有多种等价表达。
已经会画 sin、cos 图像之后，再练「数字代表谁、单位是什么、为什么这个起点合理」。不必追求唯一标准式，要追求能解释情境的模型。
02 / ORIGINAL WORKED EXAMPLE
从最低点出发的观景轮
一座观景轮半径 12 米，轮心离地 18 米，每 30 秒转一圈。令 t 为座舱离开最低点后的秒数，h(t) 为离地高度，单位为米。假设转速恒定。
- 确定上下界。最低 18 − 12 = 6 米，最高 18 + 12 = 30 米。因此振幅为 12 米，中线为 18 米。
- 把周期放进系数。每 30 秒重复一次，所以 B = 2π/30 = π/15，单位为弧度／秒。
- 匹配最低点。cos(0) = 1；在余弦前加负号，就能从最低高度开始。
| t（秒） | h(t)（米） | 位置 |
|---|---|---|
| 0 | 6 | 最低点 |
| 7.5 | 18 | 上升经过中线 |
| 15 | 30 | 最高点 |
| 22.5 | 18 | 下降经过中线 |
| 30 | 6 | 回到最低点 |
检查 h(0) = 6、h(15) = 30、h(30) = 6，与情境一致。这里用 0 ≤ t ≤ 30 描述第一圈；实际能否延伸到更长时间，取决于匀速运行假设是否仍成立。
03 / COMMON MISTAKES
最容易混淆的三个地方
从最高点到下一次最低点只有半个周期。必须比较两个连续最高点，或两个连续最低点。
最高高度包含轮心离地的部分。振幅衡量相对中线的最大偏离，这里是 12 米。
π/15 来自弧度制的 2π。代入预测时保持相同角度单位，并在最后统一舍入。
04 / YOUR TURN
换一个模型，试着做预测
这道已有原创题使用另一组参数，时间单位也换成了分钟。先读清模型，再代入。
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Using , what height is predicted at minutes, to the nearest tenth?
使用 ， 分钟时预测高度是多少？保留一位小数。
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05 / KEEP GOING
从算对一次，到会解释模型
下方入口会打开「原创题」「Unit 3」与「3.7」专题练习。每次作答前写下三个检查点：起点、半个周期、单位；再用模型解释预测的意义。
SOURCES & SCOPE
依据与内容边界
课程范围参考以下一级来源，核对日期为 2026-10-17。例题、拆解步骤与学习建议由 AP Exam Kit 编写，与 College Board 无隶属或背书关系。
- College Board · AP Precalculus CED（Fall 2026） ↗
Topic 3.7、LO 3.7.A；PDF 第 97 页／印刷页 90。课程范围为官方内容，下面的观景轮例题与解题顺序为本站原创。
本补充指南由 AP Exam Kit 编写，所列课程来源已核对；尚未完成独立教师审核。本页并非 College Board 官方资料。